Bạn đang xem bài viết Tính chất tứ giác nội tiếp? Các dạng bài tập về tính chất nội tiếp tại Mas.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Tính chất tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học Euclid. Tứ giác được gọi là nội tiếp khi tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của nó. Điều này có nghĩa là các tứ giác nội tiếp có một số tính chất đặc biệt.
Một trong những tính chất quan trọng của tứ giác nội tiếp là tổng hai góc đối diện là bằng $pi$ radian hay 180 độ. Tức là tổng hai góc ở một đỉnh của tứ giác nội tiếp luôn bằng 180 độ. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của giao tiếp giữa lỗ ban và góc nội tiếp.
Ngoài ra, tứ giác nội tiếp còn có nhiều tính chất khác như: tổng các góc đối diện với cạnh ngoài bằng 180 độ, hai góc cùng nội tiếp nhìn bằng nhau, tổng hai cạnh xung quanh một góc nội tiếp bằng đường tròn nội tiếp. Nhờ vào tính chất này, ta có thể áp dụng để giải các bài toán hình học một cách dễ dàng.
Các dạng bài tập về tính chất nội tiếp cũng rất đa dạng. Một số dạng bài thường gặp có thể kể đến như: tìm độ dài các cạnh của tứ giác nội tiếp dựa vào góc nội tiếp, chứng minh rằng tứ giác nhất định là nội tiếp, xác định các góc và cạnh trong tứ giác đã cho, v.v.
Tính chất tứ giác nội tiếp và các dạng bài tập liên quan là một phần quan trọng trong học hình học. Hơn nữa, chúng còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và các lĩnh vực khác nhau như công nghệ, vật lý, xây dựng, và nhiều lĩnh vực khác.
Chuyên đề tính chất tứ giác nội tiếp là một bài học quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 9. Tuy nhiên không phải bạn học sinh nào cũng nắm vững kiến thức này. Tính chất tứ giác nội tiếp là gì? Mas.edu.vn sẽ cùng bạn hệ thống lại kiến thức và ôn tập kĩ hơn nhé!
Danh Mục Bài Viết
Tứ giác nội tiếp là gì?
Tứ giác nội tiếp là một tứ giác mà cả bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp, và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm và bán kính đường tròn lần lượt được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Thông thường tứ giác nội tiếp là tứ giác lồi, nhưng cũng tồn tại các tứ giác nội tiếp lõm. Các công thức trong bài viết sẽ chỉ áp dụng cho tứ giác lồi.
Tính chất tứ giác nội tiếp
Tính chất 1: Trong một tứ giác nội tiếp ABCD, các tâm đường tròn nội tiếp M1, M2, M3, M4 của các tam giác DAB, ABC, BCD, và CDA là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Đây là phát biểu của định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp.
Ngoài ra, các trực tâm của bốn tam giác trên là đỉnh của một tứ giác nội tiếp đồng dạng với tứ giác ABCD, và các trọng tâm của bốn tam giác này cũng tạọ nên một tứ giác nội tiếp.
Tính chất 2: Trong một tứ giác nội tiếp ABCD với tâm ngoại tiếp O, gọi P là giao điểm của AC và BD. Ta có số đo góc APB là trung bình cộng của số đo hai góc AOB và COD. Đây là một kết quả trực tiếp suy ra từ đinh lý góc trong và định lý góc ngoài.
Tính chất 3: Không tồn tại một tứ giác nội tiếp có diện tích và số đo bốn cạnh khác nhau đều là số hữu tỉ.
Tính chất 4: Nếu hai cặp cạnh đối của tứ giác cắt nhau tại E và F, thì tia phân giác của hai góc trong có đỉnh E và F là vuông góc với nhau
Đặc điểm tứ giác nội tiếp
Sau đây là đặc điểm của một tứ giác nội tiếp:
- Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh.
- Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền 2 đỉnh kia.
- Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà 2 góc cùng nhìn.
Các công thức liên quan tứ giác nội tiếp
Công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp
Công thức tính diện tích hình tứ giác thuộc các hình cụ thể như sau (Kí hiệu là S)
Tính diện tích hình tứ giác thường:
Trong đó: a, b, c, d là độ dài cạnh bên
Công thức tính đường chéo tứ giác nội tiếp
Trong một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh A, B, C, D và cạnh a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, độ dài đường chéo p = AC và q = BD có thể được cho bởi công thức
p = ( a c + b d ) ( a d + b c ) a b + c d {displaystyle p={sqrt {frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} and q = ( a c + b d ) ( a b + c d ) a d + b c {displaystyle q={sqrt {frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}
Công thức các góc và liên hệ giữa các góc trong tứ giác
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180∘180∘. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180∘180∘ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Ví dụ: Trong hình 11 , tứ giác nội tiếp ABCDABCD có ˆA+ˆC=180∘;ˆB+ˆD=180∘A^+C^=180∘;B^+D^=180∘.
Chú ý : Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
Công thức Parameshvara về bán kính đường tròn ngoại tiếp
Một tứ giác nội tiếp có các cạnh a, b, c, d và nửa chu vi s; có độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp xác định bởi:[11][18]
R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) . {displaystyle R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}. Công thức được tìm ra vào thế kỷ XV bởi nhà toán học Ấn Độ Vatasseri Parameshvara.
Sử dụng công thức Brahmagupta, công thức Parameshvara có thể được phát biểu lại là:
4 K R = ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) {displaystyle 4KR={sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}trong đó K là diện tích tứ giác nội tiếp.
Các dạng bài toán về tính chất tứ giác nội tiếp
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
- Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đôì bằng 180°.
- Cách 2. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
- Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Cách 4. Tìm được một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác.
Bài 1.1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.
Bài 1.2: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
Bài 2.1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp.
Bài 2.2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp.
Lời giải:
Dạng 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng…
Bài tập 3.1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp;
b) AH.AB = AD2
c) Tam giác ACE là tam giác cân.
Lời giải:
Bài tập 3.2. Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M thuộc OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
a) Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn;
b) NE2 = NC.NB;
c) góc NEH = góc NME (H là giao điểm của AC và d);
d) NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)
Lời giải:
Bài viết trên của Mas.edu.vn đã chia sẻ đến bạn chủ đề tính chất tứ giác nội tiếp và các dạng bài tập cơ bản liên quan đến bài toán này. Chúc các bạn học tập tốt. Hẹn gặp lại ở bài viết sau!
Tính chất tứ giác nội tiếp là một trong những khái niệm cơ bản trong hình học Euclide. Tứ giác nội tiếp là một tứ giác có thể nắm trong một đường tròn duy nhất. Trong kết luận này, chúng ta sẽ tóm tắt các tính chất của tứ giác nội tiếp cũng như các dạng bài tập liên quan đến tính chất này.
Các tính chất của tứ giác nội tiếp:
1. Tổng hai góc trong tứ giác nội tiếp: Tổng hai góc trong tứ giác nội tiếp bằng 180 độ. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các góc nội tiếp và góc ngoài tiếp xúc với đường tròn.
2. Đường chéo trong tứ giác nội tiếp: Khi vẽ các đường chéo của tứ giác nội tiếp, đường chéo có cùng độ dài và điểm trung tuyến của đường chéo nối hai đỉnh đối diện nằm trên đường tròn.
3. Giao điểm của các đường chéo trong tứ giác nội tiếp: Giao điểm của các đường chéo trong tứ giác nội tiếp là một điểm nằm trên đường tròn nội tiếp. Nếu điểm này là trung điểm của đường chéo tạo bởi hai cạnh không kề nhau của tứ giác, thì tứ giác còn được gọi là tứ giác Newton.
Các dạng bài tập về tính chất nội tiếp:
1. Xác định tính chất của tứ giác: Cho một tứ giác ABCD trong đó AB, AC, AD đều cắt đường tròn tại E, F, G lần lượt. Bài tập yêu cầu xác định tính chất của tứ giác, ví dụ như tính chất về góc hay độ dài cạnh.
2. Xác định trị số của một góc: Cho một tứ giác ABCD nội tiếp trong đó góc ABD = 50 độ và góc BCD = 110 độ. Bài tập yêu cầu tìm giá trị của góc ADC.
3. Xác định độ dài cạnh: Cho một tứ giác nội tiếp ABCD trong đó AB = 5 cm và CD = 12 cm. Bài tập yêu cầu tìm độ dài cạnh BC.
Qua việc tìm hiểu và giải quyết các bài tập liên quan đến tính chất tứ giác nội tiếp, ta có thể nắm vững các kiến thức cơ bản về hình học Euclide và phát triển khả năng giải quyết vấn đề.
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất tứ giác nội tiếp? Các dạng bài tập về tính chất nội tiếp tại Mas.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Tứ giác nội tiếp
2. Cạnh huyền của tứ giác nội tiếp
3. Đường tròn nội tiếp tứ giác
4. Tính chất của góc tứ giác nội tiếp
5. Tính chất của các đường chéo trong tứ giác nội tiếp
6. Các điểm có thể nằm trong hoặc ngoài tứ giác nội tiếp
7. Đường trung trực của đoạn thẳng nối hai đỉnh của tứ giác nội tiếp
8. Tính chất của đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên đường tròn nội tiếp tứ giác
9. Tích của độ dài các đoạn chéo trong tứ giác nội tiếp
10. Tính chất tứ giác nội tiếp đều
11. Quan hệ giữa các góc trong tứ giác nội tiếp
12. Tính chất của các cung chứa bởi đường tròn nội tiếp tứ giác
13. Tứ giác nội tiếp vuông góc
14. Công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp
15. Các bài toán về tính chất tứ giác nội tiếp.