Bạn đang xem bài viết Tính chất đường trung tuyến? 2 dạng bài tính chất đường trung tuyến cơ bản tại Mas.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Đường trung tuyến là một khái niệm quan trọng trong hình học đơn giản, khái niệm này là nền tảng cho nhiều bài toán và tính chất trong hình học phẳng. Đường trung tuyến là đường thẳng đi qua một điểm giữa của một cặp điểm trong hình học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tính chất của đường trung tuyến và xem xét hai dạng bài toán cơ bản liên quan đến tính chất này.
Dạng bài toán đầu tiên liên quan đến tính chất đường trung tuyến là xác định vị trí giao điểm của các đường trung tuyến trong một tam giác. Ta biết rằng một tam giác có ba đường trung tuyến làm thành một hình chữ “X”, và điểm giao nhau của ba đường trung tuyến này được gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm là điểm duy nhất trong tam giác mà các đường trung tuyến cắt nhau. Trọng tâm cũng là tâm khối lượng của tam giác và có những tính chất đặc biệt liên quan đến tỷ lệ phân chia diện tích bên trong tam giác.
Dạng bài toán thứ hai là xác định tính chất của đường trung tuyến trong một hình học phức tạp hơn – hình học nhiều cạnh. Đường trung tuyến trong hình học nhiều cạnh là đường mà đi qua điểm giữa của hai đỉnh không kề nhau. Tính chất đặc biệt của đường trung tuyến này là nó chia cắt đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau thành hai đoạn có tỷ lệ bằng nhau. Từ tính chất này, ta có thể áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến đoạn thẳng và tam giác trong hình học nhiều cạnh.
Tóm lại, tính chất đường trung tuyến là một khái niệm quan trọng và có nhiều ứng dụng trong hình học phẳng. Việc hiểu rõ và áp dụng đúng tính chất này không chỉ giúp ta giải quyết các bài toán hình học mà còn mở ra những khả năng mới trong việc tìm hiểu và khám phá thêm về các hình học phức tạp.
Nhắc đến tính chất đường trung tuyến, ắt hẳn vẫn còn nhiều bạn học sinh chưa nắm vững được kiến thức quan trọng này. Đừng quá lo lắng, bài viết sau của Mas.edu.vn chính là dành cho bạn. Cùng đi tìm hiểu tất cả thông tin, bài tập về tính chất đường trung tuyến nhé!
Danh Mục Bài Viết
Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Trung điểm là điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba đường trung tuyến.
Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.
Tính chất đường trung tuyến của tam giác
Tính chất đường trung tuyến của tam giác là một phần kiến thức quan trọng để áp dụng trong nhiều bài tập hình học. Cùng ôn lại đường trung tuyến của tam giác có những tính chất cơ bản gì nhé!
Đồng quy tại 1 điểm
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm
Ví dụ: Tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, AC, AB và G là trọng tâm.
Vị trí trọng tâm của tam giác
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Chia thành các tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau
Mỗi đường trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt
Không chỉ ở tam giác thường mà ở tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều cũng có tính chất của đường trung tuyến. Vậy tính chất đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt là gì? Cùng Mas.edu.vn ôn tập nhé!
Đường trung tuyến trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
Ngược lại, một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh mà bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Ví dụ:
Tam giác ΔABC vuông ở A (như hình).
Độ dài đường trung tuyến AD sẽ bằng DB, DC và bằng 1/2. BC.
Ngược lại nếu AD = 1/2. BC thì tam giác ΔABC sẽ vuông ở A.
Đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều
Trong tam giác cân, tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và nó chia tam giác lớn thành hai tam giác nhỏ bằng nhau.
Ví dụ:
Tam giác đều ΔABC có AD, BF, CE lần lượt là ba đường trung tuyến của tam giác (như hình).
Theo tính chất của đường trung tuyến trong tam giác đều ta có:
AD⊥BC; BF⊥AC; CE⊥AB
và ΔABD = ΔADC; ΔABF = ΔFBC; ΔAEC = ΔECB.
Một số công thức liên quan đến độ dài trung tuyến
Sau khi đã hiểu được định nghĩa về tính chất đường trung tuyến thì bạn cần nắm được công thức tính độ dài đường trung tuyến để làm tốt các bài tập nhé. Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác.
Sử dụng định lý Apollonius để tính độ dài của trung tuyến như sau:
Trong đó:
-
- a, b, c: là các cạnh của tam giác.
-
- ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác ứng với các cạnh a, b, c.
Một số dạng bài liên quan đến tính chất đường trung tuyến
Liên quan đến tính chất đường trung tuyến, Mas.edu.vn sẽ tổng hợp một số dạng bài liên quan để giúp bạn luyện tập và hệ thống lại kiến thức nhé!
Dạng 1: Tìm tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài của đoạn thẳng
Với dạng toán này, bạn cần tập trung vào vị trí trọng tâm của tam giác và áp dụng định lý:
Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Với G là trọng tâm của tam giác ABC với AD, BE và CF lần lượt là 3 trung tuyến, lúc này ta có:
Bài tập ví dụ:
Bài 1:
Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Tính độ dài đoạn thẳng AG?
Lời giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên:
AG = 2/3 AM (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
Do đó: AG = 2/3. 9 = 6cm
Vậy AG = 6cm.
Bài 2:
Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Trên cạnh AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của đoạn AG’. Yêu cầu so sánh:
a. Những cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b. Những đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
a. Ta có BG cắt AC tại điểm N, CG cắt AB tại điểm E và G là trọng tâm của tam giác ABC.
⇒ GA = 2/3 AM
Vì G là trung điểm của AG’ ⇒ GA =GG’
Suy ra: GG’ = 2/3 AM
Theo giả thuyết ta có G là trọng tâm của tam giác ABC
⇒ GB = 2/3 BN
Mặt khác: GM = 1/2 AG (vì G là trọng tâm)
AG = GG ‘ ⇒ GM = 1/2 GG’
M là trung điểm của đoạn GG’
Vì GM = MG’ và MB = MC ⇒ Tam giác GMC = tam giác G’MB
Suy ra: BG’ = CG
Mà CG = 2/3 CE (G là trọng tâm của tam giác ABC)
⇒ BG ‘= 2/3 CE
Vậy mỗi cạnh của tam giác BGG’ bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b. Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác BGG’
Mà điểm M lại là trung điểm của đoạn BC nên BM = 1/2 BC
I là trung điểm của BG ⇒ IG = 1/2 BG
G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ GN = 1/2 BG
Suy ra: IG = GN
⇒ Tam giác IGG’ = tam giác NGA theo trường hợp cạnh – góc – cạnh
⇒ IG ‘= AN => IG’ = 1/2 AC
Gọi K là trung điểm của đoạn BG ⇒ GK là trung tuyến của tam giác BGG’
Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ GE = 1/2 GC
Mà K là trung điểm của BG’ ⇒ KG” = EG
Vì tam giác GMC = tam giác G’BM (chứng minh trên)
⇒ Tam giác GCM = tam giác G’BM theo trường hợp góc so le trong
⇒ CE//BG ⇒ tam giác AGE = tam giác AG’B theo trường hợp đồng vị
Do đó tam giác AGE = tam giác GG’K (c.g.c) ⇒ AE = GK
Mà AE = 1/2 AB nên GK = 1/2 AB
Vậy mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG’ bằng ½ các cạnh của tam giác ABC.
Bài 3:
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh BC biết BD = 9 cm và CE = 12 cm.
Lời giải:
Bài 4:
Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến AA1 và BB1 cắt nhau tại điểm O. Hãy tính diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác ABO bằng 5cm2.
Lời giải:
Ta có:
Bài 5:
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH.
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
Lời giải:
Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt
Đây là dạng toán đường trung tuyến ở các tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều hay tam giác vuông. Khi gặp dạng toán như này, bạn cần lưu ý áp dụng tính chất đường trung tuyến như sau:
- Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
- Trong tam giác cân và tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
Bài tập ví dụ:
Bài 1:
Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.
Lời giải:
Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC.
Ta có:
- AD là đường trung tuyến trong tam giác ABC nên GA = ⅔. AD (1)
- BF là đường trung tuyến trong tam giác ABC nên GB = ⅔. BF (2)
- CE là đường trung tuyến trong tam giác ABC nên GC = ⅔. CE (3)
Vì ΔABC đều nên AD = BF = CE (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra GA = GB = GC
Bài 2:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC
Suy ra: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền
Nên AM=1/2. BC
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG=2/3. AM = 2/3. 2,5 = 1,7cm
Vậy AG =1,7cm.
Bài 3:
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI
a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI
b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?
c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.
Lời giải:
a) ∆DEI = ∆DFI có:
DI là cạnh chung
DE = DF ( ∆DEF cân)
IE = IF (DI là trung tuyến)
⇒ ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)
b) Vì ΔDEI = ΔDFI ⇒ ∠DIE = ∠DIF
Mà ∠BID + ∠DIF=180 độ (kề bù)
Nên ∠DIE = ∠DIF = 90 độ
c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.
a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
b) Tính độ dài AM.
Lời giải:
a) Ta có AM là đường trung tuyến ABC nên MB = MC
Mặt khác tam giác ABC cân tại A
⇒ AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
Vậy AM ⊥ BC
b) Ta có:
BC = 16cm nên BM = MC = 8cm
AB = AC = 17cm
Xét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng Định lý Pitago có:
Như vậy qua bài viết hôm nay, Mas.edu.vn đã cùng bạn ôn tập về lý thuyết và bài tập tính chất đường trung tuyến. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích cho bạn học tập hiệu quả hơn. Hẹn gặp lại bạn với những thông tin thú vị khác!
Trong toán học, đường trung tuyến là một khái niệm quan trọng trong hình học tam giác. Đường trung tuyến là đường thẳng đi qua điểm trung điểm của cạnh tam giác nối hai đỉnh không kề nhau. Tính chất của đường trung tuyến đã được nghiên cứu và chứng minh bởi nhiều nhà toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một số tính chất cơ bản của đường trung tuyến.
Tính chất đầu tiên của đường trung tuyến là: hai đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm nằm ở trên đường trung bình kết nối hai đỉnh không kề nhau. Đây là một tính chất quan trọng, nhờ đó chúng ta có thể xác định điểm giao của hai đường trung tuyến một cách dễ dàng. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép biến đổi Euclid và sự tương đồng tam giác.
Tính chất thứ hai của đường trung tuyến là: hai đường trung tuyến của tam giác là đối xứng với nhau qua điểm trung điểm của cạnh tam giác tương ứng. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy đường trung tuyến của một tam giác và đối xứng qua điểm trung điểm của một cạnh, ta sẽ được đường trung tuyến của tam giác đối xứng. Đây cũng là một tính chất quan trọng, giúp chúng ta tìm hiểu sự tương quan giữa hai đường trung tuyến trong tam giác.
Tính chất thứ ba của đường trung tuyến là: hai đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm nằm ở trên đường trung tuyến kết nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh tương ứng của tam giác. Tính chất này cũng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép biến đổi Euclid và tính chất tương đồng tam giác.
Tổng hợp lại, tính chất của đường trung tuyến trong tam giác là một vấn đề quan trọng trong hình học tam giác. Việc hiểu và áp dụng những tính chất này giúp chúng ta phân tích, giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác một cách hiệu quả.
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất đường trung tuyến? 2 dạng bài tính chất đường trung tuyến cơ bản tại Mas.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Đường trung tuyến
2. Tính chất của đường trung tuyến
3. Các thuộc tính của đường trung tuyến
4. Tính chất cơ bản của đường trung tuyến
5. Đường trung tuyến và tam giác
6. Bài toán về tính chất đường trung tuyến
7. Đặc điểm của đường trung tuyến
8. Bài toán ứng dụng tính chất đường trung tuyến
9. Đường trung tuyến trong một tam giác
10. Đường trung tuyến nối trung điểm
11. Tính chất đường trung tuyến bất đẳng thức
12. Đường trung tuyến trong đa giác
13. Vị trí đường trung tuyến trong tam giác
14. Đường trung tuyến và hình học
15. Đường trung tuyến và khảo sát tam giác