Dấu hiệu nhận biết hình thoi? Tính chất, các cách chứng minh

Dấu hiệu nhận biết các hình là một trong những kiến thức quan trọng trong Toán học. Nó giúp cho bạn giải quyết những bài Toán chứng minh một cách dễ dàng. Vậy dấu hiệu nhận biết hình thoi là gì? Cùng Mas.edu.vn tìm hiểu ngay nhé!

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Trước khi tìm hiểu về các dấu hiệu nhận biết hình thoi, bạn đọc của Mas.edu.vn cần nắm rõ khái niệm về hình thoi ngay sau đây nhé!

Định nghĩa hình thoi

Hình thoi trong hình học Euclide là một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. Hình thoi cũng là một hình bình hành đặc biệt và có đầy đủ tính chất của hình bình hành.

Hình thoi và các tính chất của hình thoi là một trong những kiến thức nền tảng về hình học trong Toán học. Vậy dấu hiệu nhận biết hình thoi là gì, mời bạn đọc theo dõi phần tiếp theo của bài viết nhé!

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Dưới đây là một số dấu hiệu nhận biết hình thoi mà Mas.edu.vn đã tổng hợp, các bạn có thể tham khảo:

• Hình tứ giác đặc biệt là hình thoi nếu có các dấu hiệu nhận biết như sau:
  • Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
  • Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau.
  • Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả 4 góc.
• Hình bình hành đặc biệt là hình thoi nếu có những đặc điểm dưới đây:
  • Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
  • Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau.
  • Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc.

Trong Toán học, có rất nhiều dạng bài tập đòi hỏi bạn phải có sự suy luận. Chính vì thế, các dấu hiệu nhận biết hình thoi sẽ là kiến thức giúp ích cho bạn rất nhiều đấy!

Tính chất hình thoi

Tính chất hình thoi gồm 4 điều cơ bản sau:

• Hình thoi có các góc đối nhau bằng nhau.
• Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.
• Trong hình thoi, hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Những tính chất này góp phần quan trọng trong các bài Toán hình học. Chính vì thế, việc nắm rõ các tính chất cũng như dấu hiệu nhận biết hình thoi thì những bài Toán hình sẽ không thành vấn đề với bạn.

Xem thêm:

• Tính chất hình chữ nhật? 4 dấu hiệu nhận biết HCN
• Tính chất hình thang là gì? Tìm hiểu kiến thức hình thang
• Tính chất hình bình hành là gì? 7 bài tập liên quan

Các cách chứng minh hình thoi

Nếu bạn đã có đầy đủ kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình thoi thì việc chứng minh một tứ giác hoặc một hình bình hành là hình thoi quả thật đơn giản với bạn phải không nào?

Dưới đây là một số cách chứng minh hình thoi mà Mas.edu.vn tổng hợp, bạn có thể tham khảo:

Cách 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Ta có:

• AE = EB = ½ AB
• CG = GD = ½ CD

Mà AB = CD (ABCD là hình chữ nhật) (1)

⇒ EA = EB = GC = GD

Chứng minh tương tự, ta có: AH = BF = CF = DH

Xét Δ ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD

⇒ EH là đường trung bình của ΔABD

⇒ EH = ½ BD (2)

Chứng minh tương tự, ta có EF = ½ AC; FG = ½ BD; HG = ½ AC (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ EF = FG = GH = HE

⇒ Tứ giác EFGH có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi (đpcm).

Cách 2: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác ΔAOB; ΔBOC; ΔCOD và ΔDOA là đỉnh của một hình thoi.

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.

Vì O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Xét Δ BMO và Δ DPO có:

Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)

⇒ Δ BMO = ΔDPO (g – c – g)

⇒ OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (1)

Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (3)

Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON (4)

Từ (3) và (4) ⇒ MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc (đpcm).

Cách 3: Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi.

Ta có:

Δ ABC cân tại A có trung tuyến AM.

⇒ AM đồng thời là đường trung trực của BC.

⇒ Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau (đpcm).

Cách 4: Tứ giác là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, có AD = DC. Chứng minh hình bình hành ABCD có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Ta có:

AB = CD (Tính chất hình bình hành)

AD = BC (Tính chất hình bình hành)

Mà AD = DC = AB = BC

⇒ ABCD là hình thoi vì có hai cạnh kề bằng nhau (đpcm).

Một số lưu ý khi làm bài tập về hình thoi

Bài tập về hình thoi gồm những dạng bài tập như sau:

• Chứng minh một hình là hình thoi.
• Tính chu vi hình thoi.
• Tính diện tích hình thoi.

Vì vậy những lưu ý khi làm bài tập về hình thoi bạn cần biết đó là nắm vững các kiến thức về dấu hiệu, tính chất cũng như công thức tính chu vi và diện tích hình thoi. Từ đó, các bạn áp dụng vào làm bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Khi bạn nhận biết những dấu hiệu như thế nào là hình thoi thì việc chứng minh trong Toán hình sẽ trở nên rất đơn giản.

Bài tập tham khảo về hình thoi

Bài 1: Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

Hướng dẫn giải:

Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng.

Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình.

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi.

Hướng dẫn giải:

Trong Δ ABC, MN là đường trung bình nên ta có MN = ½ AC và MN // AC (1).

Tương tự trong tam giác ACD có: PQ = ½ AC và PQ // AC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = PQ và MN // PQ

Do vậy MNPQ là hình bình hành (3)

Xét Δ ABD ta có: MQ là đường trung bình ⇒ MQ = ½ BD

Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD

Từ đó suy ra MN = MQ (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ MNPQ là hình thoi.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC và cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.

a. Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?

b. Chứng minh PQ // BC

Hướng dẫn giải:

a. Xét Δ ABC có

M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC trong ΔABC).

⇒ MP//AC (1)

Do đó: P là trung điểm của AB (Định lí 1 về đường trung bình của tam giác).

⇒ AP = ½ AB (2)

Ta có: Δ ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ AP = AQ

Xét tứ giác APMQ có:

MP // AQ (MP // AC, Q ∈ AC)

MQ // AP (MQ // AB, P ∈ AB)

Do đó: APMQ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành APMQ có AP = AQ (cmt)

⇒ APMQ là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)

b. Ta có;

PQ ⊥ AM

AM ⊥ BC (tính chất tam giác cân)

⇒ PQ // BC

Trên đây là tất cả những thông tin kiến thức liên quan đến dấu hiệu nhận biết hình thoi. Hy vọng bài viết của Mas.edu.vn có thể giúp bạn nắm rõ hơn về hình thoi. Chúc các bạn học tốt! Hãy truy cập Mas.edu.vn mỗi ngày để thu nhận nhiều điều bổ ích nhé!