Bạn đang xem bài viết Tính chất đường trung trực là gì? Tổng hợp đủ các tính chất tại Mas.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.
Đường trung trực, còn được biết đến với tên gọi là đường trục, là một khái niệm quan trọng trong hình học Euclide. Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với nó. Tính chất đặc trưng của đường trung trực đã được nghiên cứu và chứng minh rộng rãi, mang đến những lợi ích to lớn cho việc giải các bài toán hình học.
Các tính chất chính của đường trung trực bao gồm:
1. Đường trung trực là đường thẳng: Điều này có nghĩa là nó không có độ cong, với mọi điểm trên đường trung trực đều thuộc vào đường thẳng đó.
2. Đường trung trực luôn đi qua trung điểm: Điểm trung điểm là điểm chính giữa của một đoạn thẳng. Tuy nhiên, điểm này cũng là một điểm thuộc vào đường trung trực của đoạn thẳng đó.
3. Đường trung trực là đường vuông góc với đoạn thẳng: Đây là một tính chất quan trọng của đường trung trực. Khảo sát góc giữa đường trung trực và đoạn thẳng, sẽ thấy rằng nó luôn đạt giá trị 90 độ.
4. Đường trung trực là đường phân chia đối xứng: Tức là đường trung trực chia một đoạn thẳng thành hai đoạn thẳng bằng nhau, và các điểm ở cùng khoảng cách từ đường trung trực.
5. Đường trung trực không tồn tại nếu đoạn thẳng có độ dài bằng 0: Điều này có nghĩa là đường trung trực chỉ tồn tại khi đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 0. Trường hợp này xảy ra khi hai đầu mút của đoạn thẳng trùng nhau.
Tính chất của đường trung trực đã được sử dụng rộng rãi trong rất nhiều bài toán hình học, từ việc xác định trung điểm của một đoạn thẳng đến giải các bài toán về vị trí tương đối của các hình học khác nhau. Qua việc hiểu và áp dụng các tính chất này, chúng ta có thể khám phá thêm nhiều bài toán hình học thú vị và trở thành những người thông thạo trong lĩnh vực này.
Có lẽ trong chúng ta ai cũng đã gặp các bài toán liên quan đến đường trung trực rồi phải không nào? Vậy có tất cả bao nhiêu tính chất đường trung trực? Làm thế nào để nhận biết được đâu là đường trung trực? Hãy lướt ngay xuống bài viết dưới đây để cùng Mas.edu.vn tìm hiểu ngay nhé!
Danh Mục Bài Viết
Đường trung trực là gì?
Trước tiên chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu về khái niệm của đường trung trực các bạn nhé!
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy. Đường trung trực được áp dụng vào khá nhiều dạng bài tập khác nhau.
Mỗi đoạn thẳng có bao nhiêu đường trung trực?
Mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một đường trung trực. Với mỗi đoạn thẳng bất kì, chỉ có 1 đường thẳng duy nhất vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
Chắc hẳn các bạn đều muốn biết cách viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng phải không? Sau đây là cách phổ biến được nhiều người sử dụng nhất.
Đề bài tổng quát: Cho hai điểm A(xA; yA) và điểm B. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB. Trước tiên, ta sẽ gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Như vậy đường thẳng (d) sẽ vuông góc AB tại trung điểm C của AB.
Khi đó, phương trình đường thẳng (d) sẽ đi qua M và nhận vectơ AB làm vectơ pháp tuyến. Sau đó chúng ta sẽ viết ngay được phương trình đường thẳng d.
Ví dụ: Cho hai điểm A(1; 0) và điểm B(1; 2). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi phương trình đường trung trực của AB là d’.
Vì theo đề bài có tọa độ điểm A và B => Ta có: vectơ AB(0; 2) và trung điểm AB là C(1; 1). Vì đường trung trực d’ của đoạn thẳng AB vuông góc với AB tại trung điểm C, từ đó d’ nhận vectơ AB(0; 2) làm vectơ pháp tuyến.
Như vậy, đường trung trực d’ của AB đi qua điểm C(1; 1) và có vectơ pháp tuyến là vectơ AB(0; 2). Vì vậy phương trình đường trung trực của AB là: 0(x – 1) + 2(y – 1) = 0 => y – 1 = 0.
Tính chất đường trung trực
Để tìm hiểu kĩ và sâu hơn về đường trung trực, chúng ta hãy cùng nhau khám phá những tính chất thú vị của đường trung trực nhé!
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng bao gồm định lý đảo và định lý thuận. Trước hết, định lý thuận đường trung trực của một đoạn thẳng là điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Ví dụ:
Theo giả thiết: d là trung trực của AB, M d.
Kết luận: MA = MB (định lý đường trung trực của một đoạn thẳng).
Định lý đảo đường trung trực của một đoạn thẳng là điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ:
Theo giả thiết: MA = MB.
Kết luận: M ∈ đường trung trực của đoạn thẳng AB (định lý đảo đường trung trực của một đoạn thẳng).
Tính chất ba đường trung trực trong tam giác
Tính chất ba đường trung trực trong tam giác được phát biểu như sau: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm và điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Đường tròn tâm O sẽ đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác và ta gọi đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh đường trung trực
Để chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng bất kì, ta có 5 phương pháp chứng minh khác nhau.
- Cách 1: Chứng minh d ⊥ AB tại trung điểm của AB.
- Cách 2: Chứng minh 2 điểm nằm trên d cách đều 2 điểm A và B.
- Cách 3: Áp dụng tính chất đường trung tuyến, đường cao.
- Cách 4: Áp dụng tính chất đối xứng của trục.
- Cách 5: Áp dụng tính chất đoạn nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau ở 2 điểm.
Bên trên là các cách phổ biến thường được sử dụng để chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng bất kì. Các bạn có thể áp dụng vào các dạng bài tập khác nhau.
Dạng bài toán về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Sau đây là một số dạng toán phổ biến và thường gặp về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Với dạng toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý đường trung trực của một đoạn thẳng: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho: BE = AB. Chứng minh rằng: AD = DE.
Cách giải bài toán như sau:
Xét ΔABD và ΔEBD, ta có:
BD là cạnh chung
BE = AB (theo đề bài)
BD là tia phân giác của góc B => góc ABD = góc DBE
=> ΔABD = ΔEBD (cạnh – góc – cạnh)
=> AD = DE (cạnh tương ứng bằng nhau) (điều phải chứng minh).
Dạng 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Với dạng bài này, chúng ta cần phải thực hiện lần lượt 2 bước như sau:
- Áp dụng tính chất giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác.
- Kế tiếp ta sẽ sử dụng định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Dạng 3: Đường trung trực trong tam giác cân
Trước khi làm dạng bài này, chúng ta cần lưu ý một tính chất như sau: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác ứng với cạnh đáy đó.
Ví dụ : Cho tam giác ABC cân tại A, DBC cân tại D và EBC cân tại E có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Cách giải:
Vì ΔABC cân tại A (theo đề bài) ⇒ AB = AC
⇒ A nằm trên đường trung trực của BC.
Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC
⇒ D nằm trên đường trung trực của BC.
Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC
⇒ E nằm trên đường trung trực của BC.
Do đó ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của BC.
Vậy A, D, E thẳng hàng (điều phải chứng minh).
Dạng 4: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Để chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng bất kì, ta cần sử dụng định nghĩa về đường trung trực.
Ví dụ 1: Chứng minh đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
A, B là giao điểm của hai cung tròn tâm C, D. Trong đó, hai cung tròn này có cùng bán kính nên ta có:
AC = AD (= bán kính).
BC = BD (= bán kính).
=> Hai điểm A và B cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Vậy AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Những bài tập liên quan đến tính chất đường trung trực
Trong chương trình toán học có rất nhiều bài tập liên quan đến tính chất của đường trung trực. Sau đây là một số bài tập cụ thể và thường bắt gặp nhất:
Bài 1: Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng d). Gọi là một điểm của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB.
Lời giải:
Vì M nằm trên d và d là trung trực của AB nên MA = MB (1).
Vì N ∈ PA nên N và B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d.
⇒ M nằm giữa N và B ⇒ NM + MB = NB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ NB = MA + NM.
Trong ∆NMA có : MA + NM > NA (bất đẳng thức tam giác).
⇒ NA < NB.
Bài 2: Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh ΔAMN = ΔBMN.
Lời giải:
Vì M thuộc đường trung trực của AB.
⇒ MA = MB (định lý thuận về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực).
N thuộc đường trung trực của AB.
⇒ NA = NB (định lý thuận về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực).
Do đó ΔAMN và ΔBMN có:
AM = BM (cmt)
MN chung
AN = BN (cmt)
⇒ ΔAMN = ΔBMN (c.c.c) (đpcm).
Bài 3: Cho góc xOy bằng 68o, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC.
a) So sánh OB và OC.
b) Tính số đo góc BOC.
Lời giải:
a) Ox là đường trung trực của AB.
=> OA = OB ; góc
Oy là đường trung trực của AC.
=> OA = OC ; góc
Do đó OB = OC.
b) góc o
Bài 4: Cho ΔABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E. Hỏi ΔABD, ΔACE là tam giác gì?
Lời giải:
Vì D thuộc đường trung trực của AB nên:
DA = DB (tính chất đường trung trực)
=> ΔADB cân tại D.
Vì E thuộc đường trung trực của AC nên:
EA = EC (tính chất đường trung trực)
=> ΔAEC cân tại A.
Dựa vào những cách giải ở phần dạng bài mà chúng mình đã đưa ra, hãy áp dụng vào để tự giải các bài toán thường gặp ở trên nhé! Mong rằng các bạn đã hiểu rõ về tính chất đường trung trực và các dạng bài xoay quanh nó.
Như vậy, sau khi đọc bài viết trên, chắc hẳn các bạn cũng đã hiểu thêm đường phần nào về tính chất đường trung trực rồi phải không nào? Hãy theo dõi Mas.edu.vn ngay để cập nhật thêm nhiều thông tin mới mẻ và bổ ích các bạn nhé!
Trong hình học, đường trung trực là một đường đi qua điểm trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Tính chất của đường trung trực đã được nghiên cứu và tổng hợp của nó:
1. Đường trung trực là đường đi qua trung điểm: Một tính chất cơ bản của đường trung trực là nó đi qua trung điểm của một đoạn thẳng. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta kẻ một đường thẳng nằm trên đường trung trực và có một điểm trong phạm vi đoạn thẳng ban đầu, thì điểm đó luôn là trung điểm.
2. Đường trung trực vuông góc với đoạn thẳng ban đầu: Một tính chất quan trọng khác của đường trung trực là nó luôn vuông góc với đoạn thẳng ban đầu. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta vẽ một đoạn thẳng từ một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng ban đầu và cắt đường trung trực, thì góc tạo bởi đường trung trực và đoạn thẳng ban đầu là góc vuông.
3. Tính chất giữa các đường trung trực: Nếu chúng ta có hai đoạn thẳng song song và có cùng một đường trung trực, thì hai đoạn thẳng đó cùng nằm trên một mặt phẳng.
4. Tính chất của các tam giác: Trong một tam giác, ba đường trung trực của các cạnh tạo thành một điểm duy nhất, được gọi là trung tâm của tam giác.
5. Đối xứng: Đường trung trực của một đoạn thẳng cũng là đường kẻ đối xứng của nó qua một điểm nằm trên đường trung trực.
Tổng hợp các tính chất này giúp chúng ta hiểu và áp dụng đúng đường trung trực trong các bài toán hình học. Sự tương quan giữa đoạn thẳng và đường trung trực mang lại nhiều ứng dụng trong các bài toán học sinh và cũng được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác như kiến trúc, địa lý, và vẽ kỹ thuật.
Cảm ơn bạn đã xem bài viết Tính chất đường trung trực là gì? Tổng hợp đủ các tính chất tại Mas.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.
Từ Khoá Liên Quan:
1. Định nghĩa đường trung trực.
2. Đường trung trực là gì?
3. Tính chất của đường trung trực.
4. Định nghĩa tâm cơ điểm trung trực.
5. Tính chất về đối xứng của đường trung trực.
6. Tính chất về giao điểm của đường trung trực.
7. Đường trung trực và tam giác nội tiếp.
8. Phương trình của đường trung trực.
9. Đường trung trực và điểm chéo của hình vuông.
10. Sự tồn tại đường trung trực trong mọi tam giác.
11. Đường trung trực của một đoạn thẳng.
12. Đường trung trực và đồng quy của hai đường thẳng.
13. Đường trung trực và tam giác vuông cân.
14. Mối quan hệ giữa đường trung trực và đường cao.
15. Ứng dụng của tính chất đường trung trực trong giải toán.