Tính chất trọng tâm tam giác và cách xác định trọng tâm

Trong Toán học phổ thông, chúng ta đã được học về trọng tâm của tam giác. Vậy tính chất trọng tâm tam giác là gì? Có những cách nào để xác định tính chất trọng tâm tam giác? Mời các bạn đọc của Mas.edu.vn cùng tìm hiểu ngay sau đây.

Tính chất trọng tâm tam giác

Trọng tâm tam giác là gì?

Trước khi tìm hiểu tính chất trọng tâm tam giác là gì, chúng ta cần biết được khái niệm về trọng tâm tam giác. Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó.

Đường trung tuyến của một tam giác chính là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

Ví dụ: Tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP cùng đi qua G.

Điểm G được gọi là trọng tâm tam giác ABC.

Tính chất trọng tâm tam giác

Tính chất của trọng tâm tam giác là: Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Giả sử, tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là AM, BN, CP với G là trọng tâm như hình. Theo tính chất trên, ta có:

• GA = 2/3 AM
• GB = 2/3 AN
• GC = 2/3 CP

Ngoài ra, chúng ta còn một số hằng đẳng thức khác liên quan đến trọng tâm tam giác. Xét theo khía cạnh, điểm G chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau.

• Đối với đường trung tuyến AM, ta có:

AM = 3 GM; AM = 3/2 AG; AG = 2 GM; GM = 1/2 AG,…

• Đối với đường trung tuyến BN, ta có:

BN = 3 GN; BN = 3/2 BG; BG = 2 GN; GN = 1/2 BG,…

• Đối với đường trung tuyến CP, ta có:

CP = 3 GP; CP = 3/2 CG; CG = 2 GP; GP = 1/2 CG,…

Chủ đề liên quan:

• Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
• Tính chất trọng tâm của tam giác

Cách xác định trọng tâm tam giác

Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta có thể thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1

Cho tam giác ABC.

Xác định trung điểm M của cạnh BC sao cho MB = MC.

Nối A với M để có đường trung tuyến AM.

Thực hiện tương tự với các cạnh và đỉnh còn lại, chúng ta sẽ có thêm hai đường trung tuyến nữa của tam giác này.

Gọi giao điểm của ba đường trung tuyến là G. Khi đó, điểm G chính là trọng tâm tam giác ABC.

Cách 2

Cho tam giác ABC.

Xác định trung điểm M của cạnh BC sao cho MC = MB.

Nối đỉnh A với điểm M ta được đường trung tuyến AM.

Trên đoạn thẳng AM, lấy một điểm G sao cho: AG = 2/3 AM.

Theo tính chất trọng tâm tam giác, điểm G chính là trọng tâm tam giác ABC.

Tính chất trọng tâm tam giác khác

Tính chất trọng tâm tam giác vuông

Tính chất trọng tâm tam giác vuông cũng giống như tam giác thường.

Tam giác ABC vuông tại B, từ B vẽ đường trung tuyến BA. Ta có, BA là đường trung tuyến của góc vuông nên BA = 1/2 CD = AD = AC.

Vậy tam giác ADB và tam giác ABC lần lượt cân tại A.

Tính chất trọng tâm tam giác cân

Tính chất trọng tâm tam giác cân cũng giống với tam giác thường.

Xét tam giác ABC cân tại A với G là trọng tâm. Khi đó, AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác và là đường cao của tam giác ABC này.

Ta có: AG vuông góc với BC. Suy ra, tam giác ACI và ABI lần lượt vuông tại I.

Tính chất trọng tâm tam giác đều

Tính chất trọng tâm tam giác đều cũng giống tam giác thường.

Xét tam giác đều ABC với G là giao điểm của 3 đường trung tuyến xuất phát từ 3 đỉnh. Khi đó, G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều ABC.

Bài tập vận dụng về tính chất trọng tâm tam giác

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biết AM là đường trung tuyến với M thuộc cạnh BC và AM = 12cm. Tính độ dài đoạn AG và GM?

Lời giải:

Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC. Áp dụng ính chất trọng tâm tam giác nên suy ra:

AG = 2/3 AM = 2/3 . 12 = 8 (cm)

GM = 1/3 AM = 1/3 . 12 = 4 (cm)

Vậy độ dài đoạn AG là 8cm và đoạn GM là 4cm.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác mà BM giao CN tại G, áp dụng tính chất trọng tâm tam giác nên ta có:

BG/BM = CG/CN = 2/3

mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM;

Xét tam giác BNG và tam giác CGM ta có:

BG = CN; GN = GM

Góc BGN = góc CGM ( 2 góc đối đỉnh)

Suy ra, tam giác BNG đồng dạng tam giác CMG

Từ đó suy ra: BN = CM (1)

mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2)

Từ (1) và (2) ta có: AB = AC => Tam giác ABC cân tại A( đpcm).

Thông qua bài viết trên, chúng ta đã biết được tính chất trọng tâm tam giác và cách xác định trọng tâm của tam giác. Mas.edu.vn hi vọng các bạn đã có thêm cho mình những kiến thức Toán học thú vị. Đừng quên theo dõi chúng tôi trong các bài viết tiếp theo.

Kiến thức cơ bản: Tính chất của tam giác cân